飛毛腿真的追不上烏龜嗎?

在古希臘,科學尚未興起,神話與宗教據有解釋世界的重要地位。此時的哲學家,帶著獨特角度,對世界進行了與信仰不同的追問:在現象背後,世界真真正正是什麼樣子?世界本源(Arche1)是什麼?

哲學家的「世界本源」意指構成世界的真正材質。哲學家對世界本源的猜想五花八門,例如原子論者主張萬物是由某些「基本粒子」構成,而被稱為歷史上第一位哲學家的泰勒斯(Thales of Miletus)則認為萬物都是水變成的。不同的哲學家選擇不同的東西來當作世界本源,也因此對於世界如何運作有不同看法。在這些哲學家當中,芝諾(Zeno)非堂特別。芝諾的老師巴曼尼德斯(Parmenides)主張萬物的本源是一種叫做「太一」的東西。「太一」沒有空與實、有與無的區別,因此也不會發生變化。巴曼尼德斯和芝諾都認為世界上其實沒有真正的運動和變動,如果你認為有,就是被假象給騙了。

「世界沒有任何變化?」這種令人髮指的說法若出現在現代,恐怕要讓許多人不知道該怎樣教小孩。為了支持這個誇張的哲學立場,芝諾想出了好幾個著名的悖論。芝諾的悖論,或許可說是哲學家使用思想實驗——協助思考的假想情況——的開端。

阿基里斯與烏龜

芝諾最有名的悖論叫作「阿基里斯與龜」。阿基里斯是希臘神話英雄,雖然擁有人類歷史中最脆弱的腳踝,但他是個飛毛腿。

即便如此,芝諾依然主張:只要烏龜先起跑,阿基里斯就無法超越牠。

  1. 要超過烏龜,阿基里斯必須先到達烏龜本來所在的位置。
  2. 到達烏龜本來所在的位置需要時間,所以當阿基里斯到達烏龜本來的位置時,烏龜已經又前進了一點點。
  3. 雖然只是一點點,但是阿基里斯依然需要時間追上去,這段時間不是 0 。
  4. 當阿基里斯再次到達烏龜本來的位置,烏龜又已經前進了一點點。
  5. 週而復始,每次,阿基里斯追上烏龜本來的位置,烏龜都會比本來更前進一點點,要追上去的時間都不是 0 。
  6. 阿基里斯永遠沒有超過烏龜的一天。

因此,芝諾主張,我們對運動和變化的理解是矛盾的,只是錯誤的假象。

我們大概不會想接受「只要烏龜先起跑,阿基里斯就永遠沒有超過烏龜的一天」這個荒謬的答案,但又很難迴避芝諾所提出的思維流程。

可怕的是,在之後的 1000 多年間,人類都無法給這悖論很好的解釋。數學上,芝諾悖論牽涉到的無限小量問題2,甚至被稱作「第二次數學危機」3

芝諾錯在哪?

今天,我們只需要高中數學的「無窮級數」的觀念,就能解釋「阿基里斯與龜」的問題。雖然這並不算是嚴格的解釋,但是基本上思路是正確的。為了簡化算數,我們以跑得遠比阿基里斯慢的阿草來舉例:

阿草的移動速度是羅哥的三倍,而羅哥比阿草先起跑一分鐘,所以跑在阿草前面 10 公分的位置。

我們首先考慮阿草奔跑(?)的距離。按照芝諾的算法,阿草跑 10 公分的時候,羅哥已經又前進 10/3 公分了;而當阿草跑 10/3 的時候,羅哥又向前了 10/9 公分;直至無窮。我們姑且將這樣的程序稱作「芝諾流程」。根據芝諾流程,阿草的奔跑總距離是一個公比為 1/3 的無窮等比級數:

0 + 10 + 10/3 + 10/9 + 10/27 + … (公分)

現在我們知道,這個無窮等比級數的值是 15 。也就是,在無限的芝諾流程中,阿草總共跑了 15 公分。在這同時,羅哥奔跑的距離也是一個公比為 1/3 的無窮等比級數:

10 + 10/3 + 10/9 + 10/27 + 10/81 + … (公分)

因此在無限的芝諾流程中,阿草與羅哥都奔跑了 15 公分的距離。

那麼,跑這段距離需要多少時間呢?首先,羅哥往前跑 10 公分,先花了 1 分鐘。阿草為了追上這 10 公分,他必須花 1/3 分鐘。在這同時,羅哥又往前跑了 10/3 公分,需要 10/3 分鐘。阿草為了追上這 10/3 公分,他需要花 10/9 分鐘。因此在芝諾流程之下,阿草與羅哥都奔跑 15 公分的總時間就是這個公比為 1/3 的無窮等比級數:

1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + … (分鐘)

這個無窮等比級數的總和是 3/2 。總結來說,其實阿草只要 3/2 分鐘就能跑 15 公分追上也跑了 15 公分的羅哥,然後下一秒就可以超越他。

芝諾流程與兩種無限觀

芝諾流程在哲學上牽涉到另外一個困難的問題。

我在這裡再描述一次「芝諾流程」:它是一個無限的序列,也就是說,它的進展過程有無限多次。每一次進展都是一個新的項目:阿草往前進、阿草又往前進、阿草第三次往前進…無窮無盡。

關於無限序列,我想先說明兩種不同的無限觀念,一個是潛無限觀、一個是實無限觀:

  • 潛無限觀:從「這個序列具有內在的無窮過程」來看這個流程;
  • 實無限觀:從「在經過上述無窮過程後,整個序列真正地被完成了」來看這個流程。

這兩種無限觀看起來都很直覺,然而它們真的合理嗎?

比起實無限觀,我們似乎更容易接受潛無限觀,因為潛無限觀比較弱、預設比較少:實無限觀一旦成立,就等於承認有潛無限觀的無窮過程;但反過來說,就算承認潛無限觀,實無限觀也不一定成立。

簡單地說,若你認為無窮序列或程序的存在並不難理解,而且也合理,那你大概不會反對潛無限觀。但若你認為潛無限觀沒什麼好反對的,下一個問題就是:那你支持實無限觀嗎?

支持實無限觀會有什麼問題呢?這問題,我們可以將它稱作「內在超越問題」:

如果你承認實無限,那麼「有限」到「無限」之間的鴻溝究竟是如何跨越的?這個跨越似乎必須涉及一種直覺:這個無限持續的過程,在經過某種「超越」以後,就被完成了。

以前面的例子來說,根據數學,「 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + … 」這個無限序列的總和是 3/2。然而,一旦你承認這個明確的總和真的是加總完畢而存在,你其實就預設了實無限觀。否則,單從潛無限觀看來,就算一項一項相加下去,也沒有任何時候會真的抵達 3/2 ,頂多只是無限地接近它。

然而,如果只接受潛無限觀,而不接受實無限觀,我們又如何說明這個加總的意義呢?如果無限是無法完成的,那麼,從數學上,我們要怎麼說明阿草可以追過羅哥?

無限的內在超越,無論你接受與否,各自都產生了要面對的難題。

後記:思維能力的本質

這一段後記,寫給想進階思考更困難的哲學問題的讀者。

事實上,上述爭論在哲學史上以各種不同的模式一再出現。其中一個最深刻的高峰,是在德國啟蒙時代時,康德(Immanuel Kant)與黑格爾(Georg Wilhelm Friedrich Hegel)的思想對立。

康德基本上是實無限觀的反對者,他反對「內在超越」的思維,而是以「外在統攝」來解釋涉及無限的判斷。他並不認為有任何無限可以合法地被我們完成,而應該透過外在的概念結構,讓我們得以做出類似「最終得到…」的判斷。然而,這並不意謂無限真的被我們完成了,而只是潛在地可完成、然而我們有限的理智無法完成。

內在超越需要某種無限思維,而無限思維是容易犯錯的、不可靠的。康德曾經舉過這樣的例子:

一隻鴿子可能以為在沒有空氣的空中可以飛得最快。

相反地,黑格爾是實無限觀的堅定支持者,他認為康德說的那種無限思維並非是內在超越的全部。事實上,我們具有能做出合理內在超越的「無限的理智」。

康德的說法無法解釋有限如何達致無限判斷的問題,這是一種理智上的怯懦,甚至忽視了無限理智的創造力,特別是,透過無限思維創造概念的能力。

認為無法透過內在超越得出關於無限的判斷,事實上誤解了無限理智的真正功能:無限理智並不意味著無限的過程可以不受概念的規定。一旦我們能夠遵守這個序列進行的概念規定,那麼,我們的理智應該勇敢地進行無限思維,「唰」地一下完成一整個無限過程。

舉例來說,考慮一條往兩頭無限延長的線段,這條無限延長的有限線段,最終,經歷了無限的過程,是否成為無限長的直線?對黑格爾來說,這是肯定的,線段的無限延長,在無限的過程中可以超越線段,而成為一條直線。但對於康德來說,線段無法透過延長成為直線,然而,直線永遠都可以包含有限的線段,因此線段會無止盡地延長,而繼續被直線包含著,但沒有能成為直線的一天。

你覺得誰說得有道理?

表面上,芝諾悖論的問題似乎可以用數學簡單地得到結論,但深入來看,事實上牽涉到思維能力的本質:無限思維可能嗎?

每當我們採取了一種無限理論,我們似乎就必須問問自己,我是如何思考無限的?怎樣才是合法有效的思維呢?

Note

1: Arche 是一個古希臘文,我翻譯作「本源」,它同時具有第一原理、根源、根本等意義。
2: 事實上,要突顯無限小量難題的更好例子是「飛矢不動」。
3: 歷史上的數學危機總共有三次:第一次是「無理數的存在」被證明出來;第二次是文中提及的「無限小量問題」;第三次則是羅素的「理髮師悖論」:有一個理髮師主張幫且只幫鎮上所有「不幫自己理鬍子的人」理鬍子,那他要不要幫自己理鬍子呢?

哈囉,我是這篇文章的編輯,以下是我的建議:

那第一次是什麼?

這篇文章在這一段忽然變難。建議縮排解釋一下。

前面的鋪陳把這兩種無限觀展現得像是互相衝突一樣。這導致這裡的問題有點不好理解:「我支持潛無限觀,所以不支持實無限觀,有什麼問題嗎?」

當然,更重要的是你的說明可能沒有充分到讀者可以在讀到這一段的時候知道自己支持的是哪種無限觀。

這三個問題我都修改囉。

第一個我加了一個註說明了三次數學危機。

第二個我修改了說明的方式,用縮排的方式並列起來。

第三個你看看這樣有沒有比較好懂。

我覺得這樣改沒有什麼幫助耶。至少我還是不覺得自己懂那兩種無限觀之間的差別,我不知道實無限觀是否蘊含潛無限觀,也不知道它們有什麼不同的理論結果(因此也不知道如果我支持某一個反對另一個,會付出什麼代價)。事實上,我也不知道為什麼直覺上人比較容易接受潛無限觀(不過,如果那是因為潛無限觀比較弱,我就可以理解)。

我改成這樣呢:

補一下理論後果啦

有啊,理論後果就在後面:

兩位大大好:
關於「芝諾悖論」,我有一點稍微不一樣的看法,還希望兩位大大看完不要取笑我,望能就我的盲點或錯誤方面予以斧正。

我認為「芝諾悖論」是將數學上的「離散型(可數)無限」與「連續型(不可數)無限」在概念上做混淆的產物。

其悖論的產生建立在:所有「離散型(可數)無限」都是一樣大的。

例如:「整數集合中的元素數量」與「有理數集合的元素數量」是一樣大的。
但是在「集合的蘊含範疇中」,「有理數集合」卻包含了「整數集合」,我認為這才是「芝諾悖論」之所以產生的根本原因。

此外,將距離(直線)的「連續性」,在概念上切割為數字的「離散性」,則是「芝諾悖論」採用的高明手法的第一步。

但如果從數學上來看,這可能只是一種機巧的障眼法罷了!

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@11153 :不用擔心,我們會尊重在這裡所有提出的討論,這是我們這個討論區的風格

我嘗試了解你的說法,但是我並不了解你的說法的詳情。所以我會試著更詳細嚴格說明這件事情。

確實一個線段中「點的個數」是不可數的無限多的,然而,芝諾在提出阿基里斯與龜的悖論的時候,他並不需要偷換任何概念。我們用更嚴格的方式,可以看出芝諾所作的事。

我們將文中的例子改寫成這樣(這和原來的悖論是一模一樣的!):

阿草要移動到 15 公分遠的牆面,在移動到牆面以前,他必須先經過 10 公分,也就是整段長度的 2/3 。當他抵達 10 公分處,要繼續往牆面移動,他還是必須先抵達剩下長度的 2/3 。他無論怎麼往前,都一定必須先抵達剩下長度的 2/3 ,這段要花的時間不會是 0 。所以阿草永遠抵達不了牆面。

芝諾的作法錯誤在哪呢?事實上,他可能只犯了一個錯。這一點在嚴格化以後會變得更清楚。我們用閉區間 [0, a_n] 來表示阿草移動了 a_n 距離,可以得到這樣的序列:

s_0 = [0, 10] = [0, a_0]
s_1 = [0, 10+10/3] = [0, a_1]
s_2 = [0, 10+10/3+10/9] = [0, a_2]

s_n = [0, 30(1-(1/3)^(n+1))/2] = [0, a_n] (等比級數公式)

芝諾建構的不外乎就是這個序列,他在這裡並沒有犯錯。他犯錯的是這個判斷:

<a_n> 序列是發散的。

事實上 <a_n> 序列是收斂的,就收斂到 15 。

這和連續性或離散性並沒有關係,我們知道,一個無窮項的有理數序列是可以無限逼近一個無理數的。關於這個事實請參考戴德金分割。

請教:
“非負數的無限小”,是大於.等於.小於,或既不大於也不等於也不小於零?(不可共量?)

非負數的無限小=1-0.999…(無限循環)
0.999…(無限循環)=x
0.999…(無限循環)×10=9.999…(無限循環)=10x
9.999…(無限循環)-0.999…(無限循環)=9=10x-x=9x
∴9=9x,1=x
又∵0.999…(無限循環)=x
∴0.999…(無限循環)=1
∴非負數的無限小=1-0.999…(無限循環)=1-1=0
即,非負數的無限小=0
∴當阿基里斯與烏龜距離=非負數的無限小,兩者間距離為零,起跑點同一。從此點起跑,速度較快的阿基里斯必然超越烏龜。

潛無限觀:從「這個序列具有內在的無窮過程」.這就沒有結束的時候.
實無限觀:從「在經過了上述無窮過程後,整個序列完成了」.這個說法.應該無法成立吧!
還是我哪裡弄錯了?

我的看法是.無限是主體.有限是是載體.
從無限的觀念中.取一段來解釋.
如果.有一千年.你只存在於這一千年中的一百年.

所以.「有限」到「無限」之間的鴻溝究竟是如何跨越的?
這個看法.可能就已經是問題了.

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這段話前面可能要加一下「數學上我們接受 1 + 1/3 + 1/9 +…=3/2,然而,…」

此外,康德和黑格爾那段我覺得說明還是不太夠,我覺得問題可能是沒有說明怎樣算是存在有「外在結構」或是「思想被外在統攝」(或許可以舉例?),使得讀者可能無法揣摩兩位哲學家在爭論什麼。

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你沒弄錯,這確實是個直覺上需要某種跨越不可能的思維來完成這個不可能的任務。

我大概要晚上才有時間改,由於無法即時修改,有什麼問題盡量提給我好嗎?

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洪偉好,我是KC,以下提供一些讀者心得:

1

前文提到本源,後續又提及專業名詞的四元素說、萬物流轉、原子論、驅動力等學說,只能大概知道「在講世界是什麼」,專業名詞的學說讀者較難理解,我想可能可以修改成:「這些猜想五花八門、影響深遠,包括認為提出原子是構成物質的最小單位的原子論等學說,最早都在這時提出。」

備註:採原子論當做解釋是因為普遍高中學歷會接觸過原子,相對普通讀者較有概念

2

這段有點抽象,「太一」這個詞需要解釋,否則不能馬上理解太一與變動、運動間的關係。

3

這兩句白話其實略懂意思,但文字有點不好懂。
如果沒有解讀錯誤,我會覺得可以改成:
潛無限觀:一個「序列具無窮過程」的流程;
實無限觀:一個「序列具無窮過程後,很接近完成」的流程。

另外想確認,
潛無限觀 就是你認為這個事情會一直發生而且沒有結果,無限repeat
實無限觀 就是你認為一件一直重複的事情終會有結果
我可以這樣解讀嗎?

4

內在超越、外在統攝這些詞彙,是專有名詞嗎?如果是的話,加個註解在備註會比較方便讀者知道在文末會有解釋。

5
康德主張要以「外在統攝」來判斷是否無限;黑格爾則主張「不需要外在結構」,這邊不理解,請問外在統攝是否就是外在結構?如果不是,差異會希望可以解釋說明。

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感謝KC!KC提到的(1)和(2)比起來,我覺得(2)需要解釋(而且「太實」可能也需要解釋,不然就是把它省略掉),但是(1)不用。因為就目前文章的寫法,(1)的那些詞很明確是過場,讀者閱讀時應該會理解到「就算我不懂這些東西,也不妨礙理解這篇文章」。而(2)就比較不明確。

@kc5@kris 的建議我都參考了,而且都改好囉!

由於芝諾悖論運用到時間的概念,我想請教:

  1. 時間的開頭與盡頭,是人類思維能力上可以正確思考推導的嗎?這在文中所提康德與黑格爾的不同主張脈絡下,各有何推論可供我們參考?
  2. 假設烏龜比阿基里斯晚出發,且於烏龜追上阿基里斯前,兩者恆以烏龜比阿基里斯速度慢的方式同向同直線上移動。我們可不可以說「經過無限長的時間後,烏龜終究可以追上阿基里斯」?思維上是怎麼知道這個答案的?(邏輯推論嗎?)
  3. 時間是由無限多的「時間點」所構成的嗎?讓每個時間點對應到阿基里斯與烏龜之間的每個位置點上,位置點無限多,充分與之對應所需的時間點就需要無限多,但,無限多的時間點構成了多少時間呢?